Kako iscrtati kvadratnu jednadžbu: 10 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-02-02 02:06

Kad se iscrtaju, kvadratne jednadžbe oblika sjekira² + bx + c ili a (x - h)² + k daju glatku krivulju u obliku slova U ili obrnutu krivulju u obliku slova U koja se naziva parabola. Grafikovanje kvadratne jednadžbe stvar je u pronalaženju njenog vrha, smjera i, često, presjeka x i y. U slučajevima relativno jednostavnih kvadratnih jednadžbi, također bi moglo biti dovoljno uključiti raspon x vrijednosti i iscrtati krivulju na temelju dobivenih točaka. Za početak pogledajte korak 1 u nastavku.

Koraci

Korak 1. Odredite koji oblik kvadratne jednadžbe imate

Kvadratna jednadžba može se napisati u tri različita oblika: standardni oblik, oblik tjemena i kvadratni oblik. Možete koristiti bilo koji oblik za iscrtavanje kvadratne jednadžbe; postupak za crtanje svakog grafikona je malo drugačiji. Ako radite problem domaće zadaće, obično ćete problem primiti u jednom od ova dva oblika - drugim riječima, nećete moći birati, pa je najbolje razumjeti oboje. Dva oblika kvadratne jednadžbe su:

• Standardni obrazac.

  U ovom obliku, kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = ax² + bx + c gdje su a, b i c stvarni brojevi i a nije jednako nuli.

  Na primjer, dvije standardne kvadratne jednadžbe su f (x) = x² + 2x + 1 i f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex form.

  U ovom obliku, kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = a (x - h)² + k gdje su a, h i k stvarni brojevi i a nije jednako nuli. Oblik vrhova je tako nazvan jer vam h i k direktno daju vrh (centralnu tačku) vaše parabole u tački (h, k).

  Dvije jednadžbe oblika vrha su f (x) = 9 (x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Da bismo grafički prikazali bilo koju od ovih vrsta jednadžbi, prvo moramo pronaći vrh parabole, koja je središnja točka (h, k) na "vrhu" krivulje. Koordinate vrha u standardnom obliku date su sa: h = -b/2a i k = f (h), dok su u obliku vrhova h i k navedene u jednadžbi.

Korak 2. Definirajte svoje varijable

Da bi se mogao riješiti kvadratni problem, obično je potrebno definirati varijable a, b i c (ili a, h i k). Prosječan problem algebre dat će vam kvadratnu jednadžbu s ispunjenim varijablama, obično u standardnom obliku, ali ponekad u obliku vrha.

• Na primjer, za standardni oblik jednadžbe f (x) = 2x² + 16x + 39, imamo a = 2, b = 16 i c = 39.
• Za jednadžbu oblika tjemena jednadžba f (x) = 4 (x - 5)² + 12, imamo a = 4, h = 5 i k = 12.

Korak 3. Izračunajte h

U jednadžbama oblika vrhova, vaša vrijednost za h je već navedena, ali u jednadžbama standardnog oblika morate je izračunati. Zapamtite da je za jednadžbe standardnog oblika h = -b/2a.

• U našem primjeru standardnog obrasca (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Rješavajući, nalazimo da je h = - 4.
• U našem primjeru oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da je h = 5 bez ikakve matematike.

Korak 4. Izračunajte k

Kao i kod h, k je već poznato u jednadžbama oblika vrhova. Za jednadžbe standardnog oblika zapamtite da je k = f (h). Drugim riječima, k možete pronaći zamjenom svake instance x u vašoj jednadžbi s vrijednošću koju ste upravo pronašli za h.

• U našem standardnom primjeru utvrdili smo da je h = -4. Da bismo pronašli k, rješavamo našu jednadžbu s vrijednošću za h zamjenjujući x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Korak 7.

• U našem primjeru oblika vrha, opet, znamo vrijednost k (koja je 12) bez ikakvog izračunavanja.

Korak 5. Iscrtajte svoj vrh

Vrh vaše parabole bit će točka (h, k) - h određuje x koordinatu, dok k određuje y koordinatu. Vrh je centralna tačka vaše parabole - ili samo dno "U" ili sam vrh naopačke "U." Poznavanje vrha bitan je dio iscrtavanja tačne parabole - često će u školskim zadaćama navođenje vrha biti obavezan dio pitanja.

• U našem primjeru standardnog obrasca, naš vrh će biti na (-4, 7). Dakle, naša parabola će vršiti 4 razmaka lijevo od 0 i 7 razmaka iznad (0, 0). Ovu tačku bismo trebali iscrtati na našem grafikonu, pazeći da označimo koordinate.
• U našem primjeru oblika vrha, naš vrh je na (5, 12). Trebali bismo iscrtati tačku 5 razmaka desno i 12 razmaka iznad (0, 0).

Korak 6. Nacrtajte osu parabole (opcionalno)

Osovina simetrije parabole je linija koja prolazi kroz njenu sredinu koja je savršeno dijeli na pola. Preko ove osi, lijeva strana parabole će odražavati desnu stranu. Za kvadratne oblike ax² + bx + c ili a (x - h)² + k, osa je linija paralelna s osi y (drugim riječima, savršeno okomita) i prolazi kroz tjeme.

U slučaju našeg primjera standardnog obrasca, os je linija paralelna s osi y i prolazi kroz točku (-4, 7). Iako nije dio same parabole, lagano označavanje ove linije na vašem grafikonu može vam na kraju pomoći da vidite kako se parabola zakrivljava simetrično

Korak 7. Pronađite smjer otvaranja

Nakon što smo shvatili vrh i os parabole, moramo znati da li se parabola otvara prema gore ili prema dolje. Na sreću, ovo je lako. Ako je "a" pozitivno, parabola će se otvoriti prema gore, dok ako je "a" negativna, parabola će se otvoriti prema dolje (tj. Bit će okrenuta naopako.)

• Za naš primjer standardnog obrasca (f (x) = 2x² + 16x + 39), znamo da imamo parabolu koja se otvara prema gore jer je u našoj jednadžbi a = 2 (pozitivno).
• Za naš primjer oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da imamo i parabolu koja se otvara prema gore jer je a = 4 (pozitivno).

Korak 8. Ako je potrebno, pronađite i iscrtajte x presretnute dijelove

Često će vas u školskim zadacima od vas tražiti da pronađete presjeke parabole x (koje su ili jedna ili dvije točke gdje se parabola susreće s osi x). Čak i ako ih ne želite pronaći, ove dvije točke mogu biti neprocjenjive za crtanje tačne parabole. Međutim, nemaju sve parabole presjeke x-a. Ako vaša parabola ima vrh koji se otvara prema gore i ima vrh iznad osi x ili ako se otvara prema dolje i ima vrh ispod osi x, neće imati x presretanja. U suprotnom, riješite svoja presretanja x jednom od sljedećih metoda:

• Jednostavno postavite f (x) = 0 i riješite jednadžbu. Ova metoda može funkcionirati za jednostavne kvadratne jednadžbe, posebno u obliku vrhova, ali će se pokazati izuzetno teškom za složenije. Za primjer pogledajte dolje

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 su presjeci parabole x.

• Uzmite u obzir jednačinu. Neke jednadžbe u sjekiri² + bx + c oblik se lako može uvrstiti u oblik (dx + e) (fx + g), gdje je dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. U ovom slučaju, vaši presretnuti x su vrijednosti za x koje čine bilo koji izraz u zagradi = 0. Na primjer:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • U ovom slučaju, vaše jedino presretanje x je -1 jer će postavljanje x jednako -1 učiniti bilo koji faktorski izraz u zagradama jednakim 0.

• Koristite kvadratnu formulu. Ako ne možete lako riješiti svoja presretanja x ili faktorirati vašu jednadžbu, upotrijebite posebnu jednadžbu koja se naziva kvadratna formula koja je dizajnirana upravo za tu svrhu. Ako već nije, unesite svoju jednadžbu u obrazac ax² + bx + c, zatim uključite a, b i c u formulu x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Imajte na umu da vam ovo često daje dva odgovora za x, što je u redu - to samo znači da vaša parabola ima dva presretača x. Za primjer pogledajte dolje:

  • -5x² + 1x + 10 se uključuje u kvadratnu formulu na sljedeći način:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) i (-15,18/-10). Presjeci parabole x su približno na x = - 1.318 i 1.518
  • Naš prethodni primjer standardnog obrasca, 2x² + 16x + 39 se uključuje u kvadratnu formulu na sljedeći način:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10)
  • Budući da je nemoguće pronaći kvadratni korijen negativnog broja, to znamo nema x presretanja postoje za ovu konkretnu parabolu.

Korak 9. Ako je potrebno, pronađite i iscrtajte presjek y

Iako često nije potrebno pronaći presjek y jednadžbe (točku u kojoj parabola prolazi kroz y osi), možda ćete na kraju morati, posebno ako ste u školi. Ovaj proces je prilično jednostavan - samo postavite x = 0, a zatim riješite svoju jednadžbu za f (x) ili y, koja vam daje vrijednost y pri kojoj vaša parabola prolazi kroz y os. Za razliku od x presretanja, standardne parabole mogu imati samo jedan presjek y. Napomena - za jednadžbe standardnog oblika, presjek y je na y = c.

• Na primjer, znamo našu kvadratnu jednadžbu 2x² + 16x + 39 ima presjek y u y = 39, ali se može pronaći i na sljedeći način:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Presjek parabole y je na y = 39.

    Kao što je gore napomenuto, presjek y je na y = c.

• Naša jednadžba oblika vrhova 4 (x - 5)² + 12 ima presjek y koji se može pronaći na sljedeći način:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Presjek parabole y je na y = 112.

Korak 10. Ako je potrebno, iscrtajte dodatne tačke, a zatim grafikon

Sada biste trebali imati vrh, smjer, presjek (ove) x i, možda, presjek y za vašu jednadžbu. U ovom trenutku možete ili pokušati iscrtati svoju parabolu koristeći točke koje imate kao smjernicu, ili možete pronaći više točaka za "popunjavanje" vaše parabole kako bi krivulja koju nacrtate bila točnija. Najlakši način za to je jednostavno uključiti nekoliko x vrijednosti s obje strane vašeg vrha, a zatim iscrtati ove točke pomoću dobivenih vrijednosti y. Često će učitelji zahtijevati da steknete određeni broj bodova prije nego što nacrtate svoju parabolu.

• Ponovimo jednadžbu x² + 2x + 1. Već znamo da je njegovo jedino presretanje x na x = -1. Budući da samo u jednom trenutku dodiruje presjek x, možemo zaključiti da je njegov vrh njegov presjek x, što znači da mu je vrh (-1, 0). Za ovu parabolu efektivno imamo samo jedan bod - ni približno dovoljan za crtanje dobre parabole. Hajde da pronađemo još nekoliko kako bismo osigurali da nacrtamo tačan grafikon.

  • Pronađimo y vrijednosti za sljedeće x vrijednosti: 0, 1, -2 i -3.
  • Za 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Naša tačka je (0, 1).

  • Za 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Naša tačka je (1, 4).

  • Za -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Naša tačka je (-2, 1).

  • Za -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Naša tačka je (-3, 4).

  • Iscrtajte ove točke na grafikonu i nacrtajte svoju krivulju u obliku slova U. Imajte na umu da je parabola savršeno simetrična - kada vaše točke na jednoj strani parabole leže na cijelim brojevima, obično možete sebi uštedjeti nešto posla jednostavnim odražavanjem zadane točke preko osi simetrije parabole kako biste pronašli odgovarajuću točku na drugoj strani parabole.

Video - Korištenjem ove usluge neke se informacije mogu podijeliti s YouTubeom

Savjeti

• Primijetite da je u f (x) = ax² + bx + c, ako je b ili c jednako nuli, ti brojevi nestaju. Na primjer, 12x² + 0x + 6 postaje 12x² + 6 jer je 0x 0.
• Zaokruži brojeve ili koristi razlomke kako ti kaže učitelj algebre. To će vam pomoći da pravilno iscrtate kvadratne jednadžbe.