Parabola je grafik kvadratne funkcije i glatka je krivulja u obliku slova "U". Parabole su također simetrične, što znači da se mogu presavijati duž linije tako da se sve točke s jedne strane linije preklopa podudaraju s odgovarajućim točkama s druge strane linije savijanja. Linija preklopa, nazvana osi simetrije, okomita je linija koja prolazi kroz vereks. Svaka tačka na paraboli jednako je udaljena od fiksne tačke (fokus) i fiksne ravne linije (directrix). Da biste grafički prikazali parabolu, morate pronaći njen vrh, kao i nekoliko tačaka sa obje strane vrha kako biste označili putanju po kojoj tačke putuju.
Koraci
1. dio 2: Crtanje parabole
Korak 1. Shvatite dijelove parabole
Možda ćete dobiti određene informacije prije početka, a poznavanje terminologije pomoći će vam da izbjegnete nepotrebne korake. Evo dijelova parabole koje morate znati:
- Fokus. Fiksna tačka u unutrašnjosti parabole koja se koristi za formalnu definiciju krive.
- Directrix. Fiksna, ravna linija. Parabola je mjesto (niz) tačaka u kojima je bilo koja tačka na istoj udaljenosti od fokusa i direktrisa. (Pogledajte gornji dijagram.)
- Osa simetrije. Ovo je ravna linija koja prolazi kroz prekretnicu ("vrh") parabole i jednako je udaljena od odgovarajućih točaka na dva kraka parabole.
- Vrh. Tačka u kojoj os simetrije prelazi parabolu naziva se vrh parabole. Ako se parabola otvori prema gore ili udesno, vrh je minimalna točka krivulje. Ako se otvori prema dolje ili ulijevo, vrh je maksimalna točka.
Korak 2. Upoznajte jednadžbu parabole
Opća jednadžba parabole je y = ax2+ bx + c. Može se napisati i u još općenitijem obliku y = a (x - h) ² + k, ali ovdje ćemo se fokusirati na prvi oblik jednadžbe.
- Ako je koeficijent a u jednadžbi pozitivan, parabola se otvara prema gore (u vertikalno orijentiranoj paraboli), poput slova "U", a njen vrh je minimalna točka. Ako je a negativan, parabola se otvara prema dolje i ima vrh u svojoj najvećoj točki. Ako imate problema s pamćenjem ovoga, razmislite o tome ovako: jednadžba s pozitivnom vrijednošću izgleda kao osmijeh; jednadžba s negativnom vrijednošću izgleda kao mrštenje.
- Recimo da imate sljedeću jednadžbu: y = 2x2 -1. Ova parabola će biti oblikovana kao "U" jer je vrijednost (2) pozitivna.
- Ako jednadžba ima kvadratni član y umjesto kvadratnog x izraza, parabola će biti vodoravno orijentirana i otvorena bočno, desno ili lijevo, poput "C" ili unatrag "C." Na primjer, parabola y2 = x + 3 otvara se desno, poput "C."
Korak 3. Pronađite os simetrije
Upamtite da je os simetrije ravna linija koja prolazi kroz prekretnicu (vrh) parabole. U slučaju vertikalne parabole (otvara se gore ili dolje), os je ista kao x koordinata vrha, što je x-vrijednost točke u kojoj os simetrije prelazi parabolu. Da biste pronašli os simetrije, upotrijebite ovu formulu: x = -b/2a.
- U gornjem primjeru (y = 2x² -1), a = 2 i b = 0. Sada možete izračunati osu simetrije uključivanjem brojeva: x = -0 / (2) (2) = 0.
- U ovom slučaju os simetrije je x = 0 (što je y-os koordinatne ravnine).
Korak 4. Pronađite vrh
Nakon što znate os simetrije, možete uključiti tu vrijednost za x da biste dobili koordinatu y. Ove dvije koordinate dat će vam vrh parabole. U ovom slučaju, priključite 0 na 2x2 -1 za dobivanje y koordinate. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Vrh je (0, -1), a parabola prelazi y -osu na -1.
Koordinate vrha ponekad su poznate i kao (h, k). U ovom slučaju h je 0, a k je -1. Jednadžba za parabolu može se napisati u obliku y = a (x - h) ² + k. U ovom obliku vrh je tačka (h, k), i ne morate da pravite matematiku da biste pronašli vrh osim pravilnog tumačenja grafa
Korak 5. Postavite tabelu sa izabranim vrijednostima x
Napravite tablicu s posebnim vrijednostima x u prvoj koloni. Ova tablica će vam dati koordinate potrebne za iscrtavanje jednadžbe.
- Srednja vrijednost x trebala bi biti os simetrije u slučaju "okomite" parabole.
- Radi simetrije trebate unijeti najmanje dvije vrijednosti iznad i ispod srednje vrijednosti za x u tablicu.
- U ovom primjeru stavite vrijednost osi simetrije (x = 0) u sredinu tablice.
Korak 6. Izračunajte vrijednosti odgovarajućih y-koordinata
Zamijenite svaku vrijednost x u jednadžbi parabole i izračunajte odgovarajuće vrijednosti y. Umetnite ove izračunate vrijednosti y u tablicu. U ovom primjeru vrijednosti y se izračunavaju na sljedeći način:
- Za x = -2, y se računa kao: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Za x = -1, y se računa kao: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Za x = 0, y se računa kao: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Za x = 1, y se računa kao: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Za x = 2, y se računa kao: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Korak 7. Umetnite izračunate vrijednosti y u tablicu
Sada kada ste pronašli najmanje pet koordinatnih parova za parabolu, gotovo ste spremni za iscrtavanje. Na osnovu vašeg rada sada imate sljedeće tačke: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Zapamtite da se parabola reflektira (simetrično) u odnosu na os simetrije. To znači da će y koordinate tačaka direktno preko ose simetrije jednake biti iste. Y-koordinate za x-koordinate -2 i +2 su obje 7; y-koordinate za x-koordinate -1 i +1 su 1 i tako dalje.
Korak 8. Iscrtajte tabelarne tabele na koordinatnoj ravni
Svaki red tablice čini koordinatni par (x, y) na koordinatnoj ravnini. Nacrtajte sve tačke koristeći koordinate date u tabeli.
- X-os je vodoravna; osa y je okomita.
- Pozitivni brojevi na osi y su iznad točke (0, 0), a negativni brojevi na osi y su ispod točke (0, 0).
- Pozitivni brojevi na osi x nalaze se desno od tačke (0, 0), a negativni brojevi na osi x su lijevo od tačke (0, 0).
Korak 9. Povežite tačke
Za iscrtavanje parabole povežite tačke iscrtane u prethodnom koraku. Grafikon u ovom primjeru izgledat će kao U. Spojite točke pomoću blago zakrivljenih (a ne ravnih) linija. Ovo će stvoriti najtačniju sliku parabole (koja je barem blago zakrivljena po cijeloj dužini). Na oba kraja parabole možete nacrtati strelice usmjerene od vrha ako želite. To će ukazivati na to da se parabola nastavlja neograničeno dugo.
Dio 2 od 2: Promjena grafikona parabole
Ako želite prečicu za pomicanje parabole, a da ne morate ponovno pronaći njen vrh i ponovno iscrtati nekoliko točaka na njoj, morat ćete razumjeti kako čitati jednadžbu parabole i naučiti je pomicati okomito ili vodoravno. Počnite s osnovnom parabolom: y = x2. Ovo ima vrh (0, 0) i otvara se prema gore. Bodovi na njemu uključuju (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) i (2, 4). Parabolu možete pomaknuti na temelju njene jednadžbe.
Korak 1. Pomaknite parabolu prema gore
Razmotrimo jednadžbu y = x2 +1. Ovo pomiče izvornu parabolu za 1 jedinicu prema gore. Vrh je sada (0, 1) umesto (0, 0). Zadržat će točan oblik izvorne parabole, ali će svaka y-koordinata biti pomaknuta prema gore za 1 jedinicu. Dakle, umjesto (-1, 1) i (1, 1), iscrtavamo (-1, 2) i (1, 2).
Korak 2. Pomaknite parabolu prema dolje
Uzmite jednadžbu y = x2 -1. Pomjeramo izvornu parabolu prema dolje za 1 jedinicu, tako da je vrh sada (0, -1) umjesto (0, 0). I dalje će imati isti oblik izvorne parabole, ali će svaka y-koordinata biti pomaknuta prema dolje za 1 jedinicu. Dakle, umjesto (-1, 1) i (1, 1), na primjer, iscrtavamo (-1, 0) i (1, 0).
Korak 3. Pomaknite parabolu ulijevo
Razmotrimo jednadžbu y = (x + 1)2. Ovo pomiče izvornu parabolu za jednu jedinicu ulijevo. Vrh je sada (-1, 0) umjesto (0, 0). Zadržava oblik izvorne parabole, ali se svaka x-koordinata pomiče ulijevo za jednu jedinicu. Umjesto (-1, 1) i (1, 1), na primjer, iscrtavamo (-2, 1) i (0, 1).
Korak 4. Pomaknite parabolu udesno
Razmotrimo jednadžbu y = (x - 1)2. Ovo je originalna parabola pomaknuta za jednu jedinicu udesno. Vrh je sada (1, 0) umjesto (0, 0). Zadržava oblik izvorne parabole, ali će svaka x-koordinata biti pomaknuta udesno za jednu jedinicu. Umjesto (-1, 1) i (1, 1), na primjer, iscrtavamo (0, 1) i (2, 1).
