Racionalna funkcija je jednadžba koja ima oblik y = N (x)/D (x) gdje su N i D polinomi. Pokušaj da se ručno skicira tačan grafikon može biti sveobuhvatan pregled mnogih najvažnijih srednjoškolskih matematičkih tema, od osnovne algebre do diferencijalnog računa. Razmotrimo sljedeći primjer: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Koraci
Korak 1. Pronađite presretanje y
Jednostavno postavite x = 0. Sve osim konstantnih članova nestaje, ostavljajući y = 5/2. Izražavajući ovo kao koordinatni par, (0, 5/2) je tačka na grafikonu. Nacrtajte tu tačku.
Korak 2. Pronađite vodoravnu asimptotu
Dugo podijelite nazivnik na brojnik kako biste odredili ponašanje y za velike apsolutne vrijednosti x. U ovom primjeru podjela pokazuje da je y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Za velike pozitivne ili negativne vrijednosti x, 17/(8 x + 4) se približava nuli, a grafikon približava liniju y = (1/2) x - (7/4). Iscrtajte ili lagano nacrtajte liniju, iscrtajte ovu liniju.
- Ako je stepen brojnika manji od stepena nazivnika, nema podjele, a asimptota je y = 0.
- Ako je deg (N) = deg (D), asimptota je vodoravna linija u omjeru vodećih koeficijenata.
- Ako je deg (N) = deg (D) + 1, asimptota je linija čiji je nagib omjer vodećih koeficijenata.
- Ako je deg (N)> deg (D) + 1, tada za velike vrijednosti | x |, y brzo prelazi u pozitivnu ili negativnu beskonačnost kao kvadratni, kubični ili polinom višeg stepena. U ovom slučaju vjerovatno se ne isplati precizno grafički prikazati količnik podjele.
Korak 3. Pronađite nule
Racionalna funkcija ima nulu kada je brojnik nula, pa postavite N (x) = 0. U primjeru 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminator ovog kvadrata je b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Budući da je diskriminator negativan, N (x), pa prema tome i f (x), nema stvarne korijene. Grafikon nikada ne prelazi x -os. Ako su pronađene nule, dodajte te točke u grafikon.
Korak 4. Pronađite okomite asimptote
Vertikalna asimptota javlja se kada je nazivnik nula. Postavljanje 4 x + 2 = 0 daje okomitu liniju x = -1/2. Iscrtajte svaku vertikalnu asimptotu svijetlom ili isprekidanom linijom. Ako neka vrijednost x čini N (x) = 0 i D (x) = 0, tamo može postojati ili ne postojati vertikalna asimptota. Ovo je rijetkost, ali pogledajte savjete kako se nositi s tim ako se pojavi.
Korak 5. Pogledajte ostatak podjele u koraku 2
Kada je pozitivno, negativno ili nula? U primjeru, brojnik ostatka je 17 koji je uvijek pozitivan. Imenilac, 4 x + 2, je pozitivan desno od vertikalne asimptote i negativan lijevo. To znači da se grafikon približava linearnoj asimptoti iz gore navedenog za velike pozitivne vrijednosti x i odozdo za velike negativne vrijednosti x. Budući da 17/(8 x + 4) nikada ne može biti nula, ovaj grafikon nikada ne siječe pravu y = (1/2) x - (7/4). Nemojte trenutno dodavati ništa u grafikon, ali zabilježite ove zaključke za kasnije.
Korak 6. Pronađite lokalne ekstreme
Lokalni ekstrem se može pojaviti kad god je N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. U primjeru, N '(x) = 4 x - 6 i D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Proširivanje, kombiniranje pojmova i dijeljenje sa 4 lista x 2 + x - 4 = 0. Kvadratna formula prikazuje korijene blizu x = 3/2 i x = -5/2. (Oni se razlikuju otprilike 0,06 od točnih vrijednosti, ali naš grafikon neće biti dovoljno precizan da brine o tom nivou detalja. Odabir pristojne racionalne aproksimacije olakšava sljedeći korak.)
Korak 7. Pronađite y -vrijednosti svakog lokalnog ekstrema
Uključite x -vrijednosti iz prethodnog koraka natrag u originalnu racionalnu funkciju kako biste pronašli odgovarajuće y -vrijednosti. U primjeru, f (3/2) = 1/16 i f (-5/2) = -65/16. Dodajte ove tačke, (3/2, 1/16) i (-5/2, -65/16) u grafikon. Budući da smo aproksimirali u prethodnom koraku, ovo nisu tačni minimumi i maksimumi, ali su vjerojatno bliski. (Znamo (3/2, 1/16) je vrlo blizu lokalnog minimuma. Od koraka 3, znamo da je y uvijek pozitivno kada je x> -1/2 i našli smo vrijednost samo 1/16, pa je barem u ovom slučaju greška vjerojatno manja od debljine linije.)
Korak 8. Povežite tačke i glatko proširite graf od poznatih tačaka do asimptota vodeći računa da im se približite iz ispravnog smjera
Pazite da ne prijeđete x -os, osim na mjestima koja su već pronađena u koraku 3. Nemojte prelaziti vodoravnu ili linearnu asimptotu osim na mjestima koja su već pronađena u koraku 5. Ne mijenjajte sa nagnute prema gore na nagnutu prema dolje, osim na ekstrem pronađen u prethodnom koraku.
Video - Korištenjem ove usluge neke se informacije mogu podijeliti s YouTubeom
Savjeti
- Neki od ovih koraka mogu uključivati rješavanje polinoma visokog stupnja. Ako ne možete pronaći točna rješenja faktorisanjem, formulama ili na neki drugi način, tada procijenite rješenja pomoću numeričkih tehnika poput Newtonove metode.
- Ako slijedite korake redom, obično nije potrebno koristiti druge testove derivacija ili slične potencijalno komplicirane metode kako biste utvrdili jesu li kritične vrijednosti lokalni maksimumi, lokalni minimumi ili nijedno od njih. Pokušajte prvo koristiti informacije iz prethodnih koraka i malo logike.
- Ako to pokušavate učiniti samo prekalkulusnim metodama, korake za pronalaženje lokalnih ekstrema možete zamijeniti računanjem nekoliko dodatnih (x, y) uređenih parova između svakog para asimptota. Alternativno, ako vas nije briga zašto to funkcionira, nema razloga zašto učenik predračuna ne može uzeti derivat polinoma i riješiti N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
U rijetkim slučajevima, brojnik i nazivnik mogu imati zajednički nestalni faktor. Ako slijedite korake, ovo će se prikazati kao nula i okomita asimptota na istom mjestu. To je nemoguće, a ono što se zaista događa je jedno od sljedećeg:
- Nula u N (x) ima veću mnogostrukost od nule u D (x). Grafikon f (x) se približava nuli u ovoj tački, ali tamo nije definiran. Označite to otvorenim krugom oko tačke.
- Nula u N (x) i nula u D (x) imaju jednaku množinu. Grafikon se približava ne-nultoj točki za ovu vrijednost x, ali tamo nije definiran. Ponovo označite ovo otvorenim krugom.
- Nula u N (x) ima manju množinu od nule u D (x). Ovdje postoji vertikalna asimptota.
