Apolonska zaptivka je vrsta fraktalne slike koja se formira iz zbirke sve manjih krugova koji se nalaze u jednom velikom krugu. Svaki krug u Apolonijskoj brtvi je tangentan na susjedne kružnice - drugim riječima, kružnice u Apolonijskoj brtvi dodiruju se u beskonačno malim tačkama. Nazvana po grčkom matematičaru Apoloniju iz Perge, ova vrsta fraktala može se nacrtati (ručno ili pomoću računara) do razumnog stepena složenosti, formirajući lijepu, upečatljivu sliku. Za početak pogledajte korak 1 u nastavku.
Koraci
1. dio 2: Razumijevanje ključnih koncepata
Da budemo potpuno jasni, ako ste jednostavno zainteresirani za crtanje apolonske brtve, nije bitno istraživati matematičke principe koji stoje iza fraktala. Međutim, ako želite dublje razumijevanje Apolonskih brtvi, važno je razumjeti definicije nekoliko koncepata koje ćemo koristiti kada ih raspravljamo.
Korak 1. Definirajte ključne pojmove
U donjim uputama koriste se sljedeći izrazi:
- Apolonova zaptivka: Jedan od nekoliko naziva za tip fraktala koji se sastoji od niza krugova koji su ugnežđeni unutar jednog velikog kruga i tangentni na sve ostale u blizini. Oni se nazivaju i "loši krugovi" ili "krugovi za ljubljenje".
- Poluprečnik kruga: Rastojanje od središta kruga do njegovog ruba. Obično se dodjeljuje varijabla r.
- Zakrivljenost kruga: Pozitivna ili negativna inverzija radijusa, ili ± 1/r. Zakrivljenost je pozitivna kada se radi o vanjskoj zakrivljenosti kruga, a negativna za unutrašnju zakrivljenost.
- Tangenta: Termin primijenjen na linije, ravnine i oblike koji se sijeku u jednoj beskonačno maloj tački. U Apolonovim zaptivkama ovo se odnosi na činjenicu da svaki krug dodiruje svaki obližnji krug u samo jednoj tački. Imajte na umu da nema presjeka - tangentni oblici se ne preklapaju.
Korak 2. Shvatite Descartesovu teoremu
Descartesova teorema je formula koja je korisna za izračunavanje veličina krugova u Apolonovoj brtvi. Ako definiramo zakrivljenosti (1/r) bilo koje tri kružnice kao a, b, i c, teorem kaže da je zakrivljenost kruga (ili krugova) tangentna na sve tri, koju ćemo definirati kao d,: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
U naše svrhe općenito ćemo koristiti samo odgovor koji dobijemo stavljanjem znaka plus ispred kvadratnog korijena (drugim riječima, … + 2 (sqrt (…)). Za sada je dovoljno znati da oduzimanje oblik jednadžbe ima svoju primjenu u drugim srodnim zadacima
2. dio 2: Konstrukcija Apolonske brtve
Apolonske brtve imaju oblik prekrasnih fraktalnih aranžmana koji se smanjuju. Matematički, Apolonove brtve imaju beskrajnu složenost, ali, bilo da koristite računalni program za crtanje ili tradicionalne alate za crtanje, na kraju ćete doći do točke u kojoj je nemoguće nacrtati manje krugove. Imajte na umu da što preciznije nacrtate svoje krugove, to ćete više moći smjestiti u svoju brtvu.
Korak 1. Skupite svoje digitalne ili analogne alate za crtanje
U koracima u nastavku napravit ćemo vlastitu jednostavnu Apolonovu brtvu. Apollonske zaptivke moguće je nacrtati ručno ili na računaru. U svakom slučaju, htjet ćete moći nacrtati savršeno okrugle krugove. Ovo je prilično važno. Budući da je svaki krug u Apolonijskoj brtvi savršeno tangentan na krugove pored njega, krugovi koji su čak i malo deformirani mogu "odbaciti" vaš konačni proizvod.
- Ako crtate brtvu na računaru, trebat će vam program koji vam omogućuje jednostavno crtanje krugova fiksnog radijusa iz središnje točke. Gfig, proširenje za vektorsko crtanje za besplatni program za uređivanje slika GIMP, može se koristiti, kao i veliki broj drugih programa za crtanje (relevantne veze potražite u odjeljku materijala). Vjerovatno će vam trebati i aplikacija za kalkulator, ili dokument za obradu teksta ili fizička bilježnica za bilježenje zakrivljenosti i radijusa.
- Za ručno crtanje brtve trebat će vam kalkulator (predložen naučni ili grafički prikaz), olovka, kompas, ravnalo (po mogućnosti ljestvica s milimetarskim oznakama, grafofolija i bilježnica za bilješke).
Korak 2. Počnite s jednim velikim krugom
Vaš prvi zadatak je lak - samo nacrtajte jedan veliki, savršeno okrugli krug. Što je veći krug, to vaša Zaptivka može biti složenija, pa pokušajte napraviti krug onoliko velik koliko vam papir dopušta ili onoliko velik koliko lako možete vidjeti u jednom prozoru programa za crtanje.
Korak 3. Kreirajte manji krug unutar originala, tangentan na jednu stranu
Zatim nacrtajte još jedan krug unutar prvog koji je manji od originala, ali još uvijek prilično velik. Tačna veličina drugog kruga ovisi o vama - nema ispravne veličine. Međutim, za naše potrebe nacrtajmo naš drugi krug tako da dosegne točno na pola našeg velikog vanjskog kruga. Drugim riječima, nacrtajmo naš drugi krug tako da njegova središnja točka bude sredina polumjera velikog kruga.
Upamtite da su u Apolonovim brtvama svi krugovi koji se dodiruju tangentni jedan prema drugom. Ako koristite kompas za crtanje krugova ručno, ponovno stvorite ovaj efekt stavljanjem oštre tačke kompasa na sredinu radijusa velikog vanjskog kruga, prilagođavajući olovku tako da samo dodiruje rub velikog kruga, zatim nacrtajte svoj manji unutrašnji krug
Korak 4. Nacrtajte identičan krug "preko puta" manjeg unutrašnjeg kruga
Zatim nacrtajmo drugi krug preko puta našeg prvog. Ovaj krug bi trebao biti tangentan i na veliki vanjski krug i na manji unutrašnji krug, što znači da će se vaša dva unutrašnja kruga dodirivati na tačnoj sredini velikog vanjskog kruga.
Korak 5. Primijenite Descartesovu teoremu da pronađete veličinu sljedećih krugova
Prestanimo na trenutak da crtamo. Sada kada imamo tri kruga u našem Zaptivku, možemo koristiti Descartesovu teoremu da pronađemo polumjer sljedećeg kruga koji ćemo nacrtati. Sjetite se da je Descartesova teorema d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), gdje su a, b i c zakrivljenosti vaša tri tangentna kruga, a d je zakrivljenost kruga tangentnog na sva tri. Dakle, da bismo pronašli radijus našeg sljedećeg kruga, pronađimo zakrivljenost svakog od krugova koje smo do sada imali tako da možemo pronaći zakrivljenost sljedećeg kruga, a zatim to pretvoriti u njegov polumjer.
-
Definirajmo polumjer našeg vanjskog kruga kao
Korak 1.. Budući da su drugi krugovi unutar ove, bavimo se njenom unutrašnjom zakrivljenošću (a ne vanjskom zakrivljenošću), pa posljedično znamo da je njegova zakrivljenost negativna. -1/r = -1/1 = -1. Zakrivljenost velikog kruga je - 1.
-
Polumjeri manjih krugova upola su veći od velikog kruga ili, drugim riječima, 1/2. Budući da se ti krugovi dodiruju, a veliki krug vanjskim rubom, bavimo se njihovom vanjskom zakrivljenošću, pa su njihove zakrivljenosti pozitivne. 1/(1/2) = 2. Zakrivljenosti manjih krugova su obje
Korak 2..
-
Sada znamo da je a = -1, b = 2 i c = 2 za našu Descartesovu teoremsku jednadžbu. Riješimo za d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Zakrivljenost našeg sljedećeg kruga je
Korak 3.. Budući da je 3 = 1/r, radijus našeg sljedećeg kruga je 1/3.
Korak 6. Kreirajte sljedeći skup krugova
Za iscrtavanje sljedeća dva kruga upotrijebite vrijednost radijusa koju ste upravo pronašli. Upamtite da će one biti tangente na krugove čije ste zakrivljenosti koristili za a, b i c u Descartesovoj teoremi. Drugim riječima, bit će tangentni i na izvorni i na drugi krug. Da bi ti krugovi bili tangentni na sva tri kruga, morat ćete ih nacrtati na otvorenim prostorima na vrhu i dnu područja unutar vašeg velikog izvornog kruga.
Zapamtite da će polumjeri ovih krugova biti jednaki 1/3. Izmjerite 1/3 unatrag od ruba vanjskog kruga, a zatim nacrtajte svoj novi krug. Trebalo bi da bude tangentno na sva tri okolna kruga
Korak 7. Nastavite na ovaj način da nastavite dodavati krugove
Budući da su fraktali, Apolonove brtve su beskrajno složene. To znači da možete dodavati sve manje krugove do mile volje. Ograničeni ste samo preciznošću svojih alata (ili, ako koristite računar, sposobnošću programa za crtanje da "zumira"). Svaki krug, koliko god bio mali, trebao bi biti tangentan na tri druga kruga. Da biste nacrtali svaki sljedeći krug u svojoj Zaptivci, uključite zakrivljenosti tri kruga na koja će biti dodirljiva u Dekartovu teoremu. Zatim upotrijebite svoj odgovor (koji će biti polumjer vašeg novog kruga) da biste točno nacrtali svoj novi krug.
- Imajte na umu da je brtva koju smo odabrali nacrtati simetrična, pa je radijus jedne kružnice isti kao i odgovarajuća kružnica "preko puta nje". Međutim, znajte da nije svaka Apolonova brtva simetrična.
-
Hajde da se pozabavimo još jednim primjerom. Recimo da, nakon iscrtavanja našeg posljednjeg skupa krugova, sada želimo nacrtati krugove koji su tangentni na naš treći skup, naš drugi skup i naš veliki vanjski krug. Zakrivljenosti ovih krugova su 3, 2 i -1, respektivno. Uključimo ove brojeve u Dekartovu teoremu, postavljajući a = -1, b = 2 i c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Imamo dva odgovora! Međutim, jer znamo da će naš novi krug biti manji od bilo kojeg kruga na koji je tangentiran, samo zakrivljenost
Korak 6. (pa prema tome i radijus od 1/6) ima smisla.
- Naš drugi odgovor, 2, zapravo se odnosi na hipotetički krug s druge strane tangentne tačke našeg drugog i trećeg kruga. Ovaj krug je tangente na oba ova kruga i na veliki vanjski krug, ali će presjeći krugove koje smo već nacrtali, tako da ga možemo zanemariti.
Korak 8. Za izazov, pokušajte napraviti nesimetričnu Apolonovu brtvu promjenom veličine vašeg drugog kruga
Sve Apolonove brtve počinju isto - s velikim vanjskim krugom koji djeluje kao rub fraktala. Međutim, nema razloga da vaš drugi krug nužno mora imati 1/2 radijusa prvog - upravo smo to odlučili učiniti gore jer je jednostavno i lako razumljivo. Za zabavu, pokušajte pokrenuti novu brtvu s drugim krugom različite veličine - to će dovesti do uzbudljivih novih putova istraživanja.
